Bản chất của toán học (Phần 3)

4 - TOÁN HỌC VÀ HIỆN THỰC

Hơn nữa, nhóm Bourbaki còn phải cố gắng trả lời câu hỏi do Einstein đặt ra: “Làm thế nào mà toán học, vốn xuất phát từ tư duy con người và độc lập với mọi kinh nghiệm, lại ứng dụng hoàn hảo được như thế vào những vật thể đối tượng trong hiện thực?”

Về phần ông, Einstein thừa hiểu rằng công việc thực sự của nhà toán học là làm sáng tỏ những cấu trúc cơ bản của lô-gic học. Khảo sát đến cùng, [toán học] sẽ bao gồm được mọi quan hệ mà lô-gic học xác định. Thế giới xung quanh chúng ta có thể được xem là sự đặc trưng hóa một phần nào đó trong số những cấu trúc này, đến mức chúng có thể được lấy làm ví dụ, và được mô hình hóa bởi các quan hệ đặc biệt kết nối những sự vật cụ thể lại với nhau. Các cấu trúc toán học hình thức không chuyên chở một ý nghĩa nào, người ta nói như vậy. Chúng ta có thể đảo ngược lập luận: thay vì nói rằng chúng không áp dụng vào bất cứ điều gì, ta có thể nói rằng chúng có thể áp dụng cho mọi loại hình hiện tượng. Như những thứ chúng ta quan sát trong Vũ trụ. Nhóm Bourbaki viết: “về vấn đề lớn là quan hệ giữa thế giới thực nghiệm với thế giới toán học, [chúng tôi thấy rằng] sự tương quan chặt chẽ giữa những hiện tượng thí nghiệm và các cấu trúc toán học dường như đã được những khám phá mới đây của vật lý học hiện đại xác nhận đầy đủ, một cách hết sức bất ngờ. Tuy nhiên, chúng ta hoàn toàn không biết các lý do ẩn bên dưới sự kiện ấy – với điều kiện là chúng ta có thể cho cụm từ này một ý nghĩa – là gì [...]. Nhưng, một mặt, vật lý lượng tử đã chỉ ra rằng cái trực giác vĩ mô về hiện thực [“phát sinh từ các trực giác tức thì về không gian”] bao trùm cả những hiện tượng siêu nhỏ có bản chất hoàn toàn khác, và chúng lại được kết nối với các lĩnh vực toán học vốn chẳng ai nghĩ đến việc áp dụng vào các khoa học thực nghiệm cả. Mặt khác, phương pháp tiên đề đã chỉ ra rằng “những sự thật” từ đấy nó nuôi hy vọng phát triển toán học chỉ là các khía cạnh đặc biệt của những khái niệm tổng quát hơn mà ý nghĩa không giới hạn vào các lĩnh vực [toán học] này. Cuối cùng, hóa ra là [...] sự liên kết chặt chẽ trên (mà xưa kia chúng ta đã từng phải chiêm ngưỡng tính tất yếu nội bộ hài hòa của nó), chỉ đơn giản là một tiếp xúc ngẫu nhiên giữa hai môn học mà những liên thông thực sự còn được ẩn giấu sâu hơn là chúng ta tưởng rất nhiều trước kinh nghiệm”.

a - Chủ thuyết Platōn trong toán học

Cách đơn giản nhất để nhìn vào toán học là khẳng định rằng thế giới là toán học, theo nghĩa sâu sắc nhất. Những hữu thể toán học trừu tượng tồn tại thực sự. Các nhà toán học khám phá ra chúng chứ họ không phát minh ra chúng. Con số “Pi” thực sự tồn tại đâu đó trên bầu trời. Dù có hoặc không có nhà toán học, toán học vẫn tồn tại. Đấy là một thứ ngôn ngữ phổ quát mà chúng ta có thể sử dụng để hiệp thông với những cư dân của các hành tinh khác, mà sự tiến hóa hoàn toàn độc lập với Trái Đất của chúng ta. Còn gì lý thú hơn, khi ghi nhận rằng cái ý tưởng này dường như nay đã được mặc thị chấp nhận, bởi mọi chuyên gia từng cống hiến hết mình cho nỗ lực truy tìm sự thông minh “ngoài Trái Đất” và không ngừng bắn lên không gian các thông điệp và thông tin toán học về loài người. Đối với nhà hiện thực chủ nghĩa, con số 7 là một ý thể (idéalité), một ý tưởng phi vật chất, và nó chỉ tự hiện thực hóa trong các trường hợp cụ thể như bảy chú lùn, bảy bà vợ, hay bảy anh em. Cách nhìn này, đôi khi ta gọi nó là chủ thuyết Platōn toán học, bởi vì nó bảo vệ ý tưởng về sự tồn tại của một thế giới khác được cấu tạo từ những hình thức (Idées) toán học hoàn hảo, chúng hình thành các ma trận (matrices)¹ từ đấy phát xuất thứ kinh nghiệm không hoàn hảo của chúng ta. Hơn nữa, nó còn cho rằng sự tinh luyện những dữ liệu cảm giác của chúng ta bằng trí tuệ sẽ không có kết quả nào trên bản chất toán học của hiện thực cả. Những ý kiến đại loại dường như hàm ý rằng Thượng Đế là một nhà toán học. Và, trên thực tế, nếu toàn bộ Vũ trụ vật chất có thể được mô tả bằng toán học (như vũ trụ học hiện đại giả định), thì hẳn phải có một thứ lô-gic phi vật chất bao la hơn cái Vũ trụ vật chất này.

Việc đưa một giải thích kiểu Platōn vào toán học đã tạo ra một thế song song đáng kinh ngạc giữa toán học với thần học. Toàn bộ kho vũ khí chữ nghĩa về các đặc trưng và thuộc tính của Thượng Đế mà các nhà thần học tân-Platōn dựng lên có thể được sử dụng gần như từng từ một để mô tả toán học. Chỉ cần thay thế từ “Thượng Đế” bằng từ “toán học” là đủ. Toán học của những người theo chủ thuyết Platōn vượt khỏi thế giới này: nó tồn tại trước khi thế giới vật chất được tạo lập, nó vẫn sẽ tồn tại sau khi thế giới vật chất biến mất. Khi các nhà triết học Cổ đại cố gắng tích hợp các khái niệm như quy luật của Tự nhiên vào khuôn khổ thần học về Vũ trụ, họ đã thành công không chút khó khăn. Họ thậm chí còn biết cả cách kết nối vào hệ thống của mình sự gián đoạn của quá trình diễn tiến theo luật tự nhiên nữa, dưới một hình thức hợp tình hợp cảnh là phép màu. Nhưng sự toàn năng của Thượng Đế không tương thích với toán học. Chúng ta có thể tưởng tượng một định luật của Tự nhiên bị gián đoạn hoặc bị tráo trở (vì những gì chúng ta quan sát không phải là bản thân các quy luật, mà là kết quả của chúng), nhưng liệu ta có thể trí trá với một định luật lô-gic hay toán học chăng? Nền thần học Trung cổ đã bị chia rẽ sâu sắc trên vấn đề sau: sự toàn năng của Thượng Đế có tương thích với cái thế giới này – Sáng tạo của Ngài – là nơi tồn tại những cái-không-thể trong toán học (impossibilités mathématiques) chăng? Spinoza tin rằng sự tương thích ấy tồn tại, song những kẻ bảo vệ ý tưởng rằng cả Thượng Đế cũng không có thứ tự do tuỳ tiện đó, vì nó không tồn tại, đều phản đối ông. Điều này gợi ý rằng sức mạnh linh thiêng cũng phải tuân theo các định luật của lô-gic và toán học. Hiện thực toán học của Platōn³ đối lập với sức mạnh thần linh toàn năng và có mặt khắp nơi. Chúng ta có thể tiếp tục cuộc tranh luận này và khám phá thêm các khía cạnh khác của cặp nan đề, chẳng hạn như nan đề cái ác (đối lập với cái thiện) hoặc nan đề mặc khải (đối lập với lý tính của sự khám phá toán học), nhưng điều đó sẽ đưa chúng ta đi quá xa.

Những người theo chủ nghĩa hiện thực xem hiệu quả đáng kinh ngạc của toán học trong sự mô tả Thiên nhiên là bằng chứng rõ rệt rằng lý thuyết của họ là đúng. Hầu hết các nhà khoa học và toán học đều thực hiện công việc hàng ngày của họ trong văn phòng, như thể chủ nghĩa hiện thực là đúng, trong khi họ không bao giờ có đủ can đảm để quyết liệt bảo vệ nó nơi công cộng. Tuy nhiên, được quan niệm như trên, chủ nghĩa hiện thực biểu lộ một khía cạnh thực sự phi thường. Nếu ta có thể tưởng tượng ra sự tồn tại của một dự án toán học nằm ở nền tảng của sự phát triển Vũ trụ, nơi những người quan sát như chúng ta sống (và điều này, tất nhiên, chúng ta tưởng tượng được dễ dàng), thì lúc đó một kịch bản tương tự cũng có thể tồn tại khắp Vũ trụ: phải có những người quan sát thông minh ở nơi khác nữa.

Chủ thuyết Platōn cũng không phải là không có mâu thuẫn. Một số điểm vẫn còn mơ hồ. Cái thế giới của những trừu tượng toán học khác mà chúng ta sẽ phải khám phá ra kia, nó hiện ở đâu? Làm thế nào để liên lạc với nó^[3]? Nếu các thực thể toán học thực sự tồn tại bên kia thế giới vật chất của những sự vật cụ thể mà chúng ta có kinh nghiệm trực tiếp, thì lúc đó dường như cách duy nhất để ta có thể tiếp xúc với nó là một thứ kinh nghiệm huyền bí, và nó sẽ giống một diễn biến tâm linh hơn là một tiếp cận khoa học. Chúng ta không thể xử lý việc tiếp thu tri ​​thức toán học như ta xử lý các dạng tri ​​thức khác về thế giới cụ thể. Những tri thức sau, ta xem chúng như đầy ý nghĩa, vì cái lý do dễ hiểu là ta tình cờ tác động trở lại với các đối tượng chúng ta hiểu biết được, trong khi ta không thể nào tiếp xúc với các thực thể toán học một cách ngẫu nhiên. Một thái độ kiểu Platōn đặt ra cho chúng ta nhiều vấn đề lớn trên bình diện siêu hình. Gödel, người khăng khăng bảo vệ nó tin vào sự tồn tại của một hiện thực phi vật chất, cho rằng ta có thể thiết lập với nó “các loại hình quan hệ khác”. Roger Penrose* xem định lý Gödel – cái tự chứng minh rằng nó là không thể chứng minh được – như một dấu hiệu của ý thức con người. Ý tưởng thật kỳ quái! Bởi điều này có nghĩa rằng người nào không hiểu ý nghĩa và chân lý của định lý Gödel sẽ là, một cách nào đấy, không hoàn toàn có ý thức. Lúc đó, liệu chúng ta phải nghĩ sao về một đứa trẻ hay kẻ không phải là nhà toán học?

b - Kiến tạo luận (constructivistes)

Phản ứng cuối cùng trước cơn lốc của sự bất định đã đổ xuống sau những nghịch lý lô-gic, và đã làm nảy sinh chủ nghĩa hình thức vào đầu thế kỷ XX, là kiến tạo luận – phiên bản toán học của luận thuyết thao tác^[4]. Theo Léopold Kronecker*, một trong những nhà sáng lập ra nó, đầu tiên ta phải nhận thức rằng “Thượng Đế đã tạo ra các số nguyên, phần còn lại là do con người làm ra”. Ý của ông là chúng ta chỉ nên chấp nhận như khởi điểm những ý niệm toán học đơn giản nhất – các số nguyên 1, 2, 3, 4... và phép tính – rồi từng bước lần lượt suy ra mọi thứ khác từ những ý niệm trực quan hiển nhiên này. Khi lấy vị trí bảo thủ ấy, các nhà kiến tạo luận dự tính tránh đụng độ và phải đối phó với loại thực thể như các tập hợp vô hạn, bởi chẳng những người ta không thể có kinh nghiệm cụ thể nào về chúng, mà hơn nữa, chúng còn có những thuộc tính không liên quan gì tới trực giác (vô hạn trừ vô hạn vẫn có thể bằng vô hạn, như chúng ta có thể thấy bằng cách trừ tất cả loại số chẵn khỏi tất cả số tự nhiên: vẫn còn lại tất cả loại số lẻ). Đây là lý do khiến kiến ​​tạo luận cũng được gọi là trực giác luận, nhằm nhấn mạnh rằng nó dựa trên cái nguyên tắc cơ bản là trực giác của con người.

Đối với các nhà kiến ​​tạo luận, toán học chỉ là một chuỗi mệnh đề có thể được xây dựng dựa trên một số hữu hạn những bước suy diễn từ các số tự nhiên. “Ý nghĩa” của một công thức toán học chẳng là gì khác hơn cái chuỗi hữu hạn những phép tính được thực hiện để xây dựng nó. Cách nhìn này có vẻ như vô hại. Trong thực tế, nó kéo theo những hệ quả khủng khiếp: nó tạo ra một phạm trù mới trong mệnh đề toán học. Bởi vì mỗi mệnh đề bây giờ có thể được gán cho ba giá trị: đúng, sai, không đúng cũng không sai (hoặc “không thể quyết định được”). Mọi mệnh đề mà chân lý không thể được xác định bằng một lượng hữu hạn các giai đoạn xây dựng đều là còn trong trạng thái lấp lửng. Như hệ quả chính của một lựa chọn như vậy, một mệnh đề không còn là chỉ hoặc đúng, hoặc sai nữa. Ba khả năng này nhắc chúng ta về các phán quyết mà một tòa án ở Scotland có thể đưa ra: “có tội”, “vô tội”, và “miễn tội vì thiếu bằng chứng” (trong trường hợp này bị cáo có thể bị xử lại về cùng một tội) trong khi các Tòa án ở Anh hay Mỹ chỉ có thể tuyên án “có tội” hoặc “vô tội” mà thôi.

Các nhà toán học trước kiến ​​tạo luận đã tìm ra nhiều cách khác nhau để chứng minh tính chân lý của những công thức không đáp ứng được tiêu chí về số lượng hữu hạn của những bước triển khai. Phương pháp được ưa thích nhất của người Hy Lạp trong thời Cổ đại là phép phản chứng (reductio ad absurdum = quy giản thành điều phi lý). Để chứng minh rằng điều gì đó là sai, ta giả định ngược lại ngay từ đầu rằng nó là đúng, rồi khởi đi từ giả thuyết này để tiến tới một kết quả vô lý (như 2 = 1 chẳng hạn), và điều phi lý này tự nó sẽ là bằng chứng rằng giả thuyết ấy là sai. Phương pháp này dựa trên sự chấp nhận ý tưởng rằng một đề xuất chỉ có thể là đúng hoặc sai. Nhưng, theo các quy tắc của luận thuyết kiến tạo, đây không phải là một cách tiếp cận có giá trị, bởi vì một mệnh đề chỉ được cho là đúng nếu nó có thể được chứng minh rõ ràng qua một số bước diễn dịch hữu hạn. Do đó, toàn bộ các định lý toán học chứng minh sự tồn tại của một cái gì đó mà không xây dựng được minh bạch một ví dụ rõ ràng, đều không thể được coi là có giá trị.

Nếu các nhà vật lý chấp nhận nó, thứ triết lý toán học này sẽ có những hệ quả thú vị mặc dù còn chưa được thăm dò hết, bởi vì nhiều lý thuyết cơ bản – như thuyết tương đối rộng của Einstein* hay cơ học lượng tử của Niels Bohr*– chủ yếu đều dựa trên loại lý luận phi kiến ​​tạo luận để mô tả các thuộc tính của Vũ trụ. Đối với hầu hết các nhà toán học, chiến lược này là khá bội bạc; như thể ta phải đấu vật với một cánh tay bị trói sau lưng. Các định lý nổi tiếng của Stephen Hawking* và Roger Penrose* về điểm kỳ dị vũ trụ² cũng thuộc về cùng một giuộc: chúng cung cấp những điều kiện đủ để chứng minh sự bắt đầu tồn tại của thời gian, bằng cách rút ra một mâu thuẫn từ giả thuyết rằng sự bắt đầu của thời gian ấy là không tồn tại. Nhưng bởi vì các định lý này không xây dựng rõ ràng [qua một số bước diễn dịch hữu hạn] điểm kỳ dị khởi đầu đó, nên chúng đều là không “đúng” theo các nhà kiến ​​tạo luận toán học (bất chấp sự kiện là thuyết tương đối rộng cho phép rút ra nhiều giải pháp vũ trụ học chính xác khác nhau nhưng đều có một điểm kỳ dị mang tính xây dựng liên quan tới một thời điểm chính xác và hữu hạn trong quá khứ).

Nói chung, tất cả các nhà vật lý học đều sử dụng những lập luận của kiến ​​tạo luận toán học mà không suy nghĩ cặn kẽ. Lĩnh vực vật lý duy nhất mà người ta áp dụng cho phương pháp này và cái lô-gic ba giá trị của nó những giới hạn là trong đo lường lượng tử. Nó đã được thông qua như một thỏa hiệp để giải quyết các vấn đề do nghịch lý Einstein-Podolsky-Rosen³ đưa ra. Dù sao, ngay cả khi cách nhìn của kiến ​​tạo luận là chính xác theo quan điểm hình thức đi nữa, nó cũng cản trở nỗ lực của chúng ta nhằm phát triển một lý thuyết về Cái Tổng Thể⁴.

c - Luitzen Brouwer

Các nhóm nhỏ bảo vệ nhiệt tình luận thuyết kiến ​​tạo vẫn luôn luôn tồn tại. Người bênh vực nó giáo điều nhất là nhà toán học nổi tiếng người Hà Lan Luitzen Brouwer*, thành viên ban biên tập của chuyên san Đức Mathematische Annalen (rất có uy quyền vào thời điểm đó): ông ta đã quyết chiến với các đối thủ của mình bằng cách từ chối đăng bất cứ bài viết nào không tuân theo các nguyên tắc của kiến ​​tạo luận, nghĩa là bàn về các vấn đề vô hạn hoặc lập luận bằng phép phản chứng. Thái độ này đã gây ra sự đối nghịch nhất định trong giới toán học, nhất là giữa Brouwer với Hilbert, tổng biên tập tờ Annalen. Hilbert vốn đã chẳng ưa gì Brouwer, một cá nhân tính nết bất thường và kỳ cục, còn cảm thấy bị đe dọa bởi sự phổ biến của thứ triết lý mới của ông ta. Hilbert lo ngại cho tương lai của toán học, sợ nó sẽ quay lùi lại những năm đen tối. Bệnh nặng và cảm thấy đã sắp đến lúc mất, đồng thời muốn bảo vệ vừa tương lai của tập san, vừa môn học của mình, ông ta quyết định chia tay với Brouwer, người đang có ảnh hưởng mạnh tới các cộng tác viên của tờ báo. Ở hồi kết của một cuộc tranh cãi dai dẳng và quyết liệt, tuy có vẻ nực cười nhìn từ bên ngoài (Einstein, một thành viên có ảnh hưởng khác trong ban biên tập, gọi đấy là “cuộc đại chiến giữa phe chuột và phe ếch”), Hilbert chiến thắng: ban biên tập bị giải tán và được tái lập mà không có Brouwer, kẻ đã phải rút lui khỏi thế giới các nhà toán học thực hành một thời gian, để chỉ trở lại vào cuối đời mà tay vẫn luôn luôn phất lá cờ trực giác luận. Hoang tưởng và yếm thế, ông ta đã sống và chết trong cô độc và đầy cay đắng.

Một khi được suy ngẫm chín chắn, luận thuyết kiến ​​tạo có vẻ rất kỳ lạ. Theo kiểu lấy con người làm trung tâm, nó định nghĩa toán học như tổng số những diễn dịch được rút ra từ một số bước hữu hạn dựa trên các cơ sở của trực giác con người: những số tự nhiên. Tất cả những gì xảy ra trước quá trình triển khai này đều không phải là toán học. Ngoài lập trường chống lại Kopernik*, chúng ta đều thấy rằng cái ý tưởng có một “trực giác” phổ quát về những số tự nhiên là không có cơ sở lịch sử nào cả. Nhà kiến ​​tạo luận sẽ không bao giờ có thể nói liệu trực giác của tôi là giống hệt của bạn hay không, liệu nó đã từng tiến hoá nơi con người và sẽ còn tiếp tục tiến hoá thêm trong tương lai hay không. Những thứ toán học dựa trên trực giác này là một hiện tượng lặp đi lặp lại, và biến thiên theo thời gian cùng nhân cách của người xây dựng chúng, như thể chúng là một ngành của tâm lý học. Tại sao bắt đầu từ những số tự nhiên? Thế nào là một giai đoạn kiến tạo? Vì sao một số công trình cho thấy là chúng hữu ích và thích nghi vào thế giới hiện thực hơn những công trình khác? Vì sao ta không thể có trực giác về những hình thức khác nhau của vô cực? Phải giải thích sự hữu dụng của các khái niệm phi kiến tạo trong nghiên cứu về thế giới vật lý như thế nào? Dù sao, trực giác của con người vẫn quan niệm được những tập hợp vô hạn.

Ít nhất, kiến tạo luận cũng dạy chúng ta được chút gì đó về tính toán học của Tự nhiên. Chúng ta nhận thấy rằng nó đã kế thừa những công trình nghiên cứu hình thức luận của Hilbert, sau khi ông này bị khám phá của Gödel đánh bại. Chúng ta đã hiểu rằng sẽ luôn luôn có những mệnh đề mà ta không thể chứng minh được là đúng hoặc sai. Nhưng phải nói sao về tất cả những mệnh đề mà tính chân lý có thể được quyết định bằng sự sử dụng các phương pháp toán học truyền thống? Các nhà kiến tạo luận có thể chứng minh được bao nhiêu mệnh đề trong số đó? Liệu chúng ta sẽ biết cách chế tạo, ít ra là trên nguyên tắc, một máy tính có năng lực đọc những dữ liệu được cung cấp ở đầu vào, hiển thị trạng thái ban đầu của máy, đồng thời sở hữu một bộ xử lý có khả năng xác định trạng thái tiếp theo, và sử dụng nó sau đó để quyết định xem một mệnh đề đã cho là đúng hoặc sai, sau một thời gian hữu hạn chăng? Liệu chúng ta sẽ biết cách xây dựng một “cỗ máy” có khả năng phán quyết thay cho ta xem các mệnh đề quyết định được của toán học là đúng hoặc sai chăng?

(Còn nữa)

Chú thích

(1) Do từ La-tinh matrix, với nghĩa là “mẹ” (nguyên nghĩa là “sinh vật mang bầu”, “đàn bà sinh con”, rồi “tử cung”, dạ con”. Ngày nay, matrix được dùng với nghĩa tổng quát để chỉ một tập hợp những điều kiện, trong đó một sự vật tăng trưởng và phát triển, hoặc có ảnh hưởng tới cách thức nó phát triển và thay đổi (Liên Âu với các quốc gia Âu châu chẳng hạn). Mặt khác, trong toán học, matrix được dùng để chỉ một nhóm các số, ký hiệu, hoặc biểu thức được sắp xếp thành hàng và cột trong một hình chữ nhật (2 hàng và 3 cột chẳng hạn, mỗi ô tạo ra từ một hàng và một cột được gọi là một phần tử hoặc mục); mỗi ma trận như vậy tuân theo các quy tắc đã định trước, và được dùng để giải quyết một vấn đề hoặc đo lường một đại lượng. Các phép toán ma trận được dùng rộng rãi trong nhiều ngành toán học.

(2) Thuật từ thuộc vũ trụ học và nguồn gốc vũ trụ học. Một số định nghĩa thấy trên Internet: 1) Điểm kỳ dị là nơi mà mật độ, áp suất, nhiệt độ... đều là vô hạn, và các định luật vật lý đều vô hiệu. Chúng nằm trong lòng các lỗ đen và ở khoảnh khoắc 0 của vũ trụ (vụ Nổ Lớn = Big Bang). Ở gần điểm kỳ dị này, mọi động thái của vũ trụ trở nên hỗn loạn. 2) Điểm kỳ dị không-thời-gian (space-time singularity) hay điểm kỳ dị hấp dẫn (gravitational singularity) là các vùng không gian nơi mật độ vật chất hay độ cong của không-thời-gian (spacetime curvature) là vô cùng. Ở điểm kỳ dị này, các định luật khoa học và khả năng tiên đoán tương lai đều không còn hiệu lực. 3) Điểm kỳ dị không-thời-gian là nơi các đại lượng dùng để đo trường hấp dẫn (gravitational field) đều trở nên vô hạn, theo nghĩa là không còn phụ thuộc vào hệ tọa độ. Nói cách khác, đấy là điểm nơi mọi quy luật vật lý không còn có thể phân biệt được với nhau, nơi không gian và thời gian không còn là những hiện thực tương quan với nhau, mà hợp nhất một cách không thể phân biệt được và không còn ý nghĩa độc lập nào nữa cả.

(3) Quy chiếu về cuộc tranh luận chung quanh thí nghiệm do Albert Einstein, Boris Podolsky, và Nathan Rosen tưởng tượng ra trong bài “Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality be Considered Complete?” (Physical Review, 47 (10), 777-780, 1935 – 1 trong 10 bài báo ảnh hưởng nhất mà chuyên san trên từng đăng), với kết luận rằng sự mô tả hiện thực vật lý trong cơ học lượng tử là không đầy đủ, vì có những “yếu tố hiện thực (elements of reality)” mà lý thuyết lượng tử, như được trình bày trong diễn giải Copenhagen (Niels Bohr, Werner Heisenberg), không bao gồm, và cho rằng ta phải có khả năng xây dựng một học thuyết bao gồm cả chúng nữa. Niels Bohr đã phản ứng tức thì bằng một bài báo mang cùng tựa, đăng cùng năm, trên cùng chuyên san. Trao đổi này là chương đầu trong một cuộc tranh luận dai dẳng giữa Bohr và Einstein về bản chất nền tảng của hiện thực, và ảnh hưởng sâu sắc trên suốt quá trình diễn giải cơ học lượng tử.

(4) “Lý thuyết về Cái Tổng Thể” hay “Lý thuyết về Mọi thứ (TOE = Theory Of Everything)” hay ”Lý thuyết Tối hậu”… là giả thuyết về một khung vật lý lý thuyết duy nhất có khả năng bao gồm, giải thích, và kết nối chặt chẽ mọi khía cạnh vật chất của vũ trụ thành một lý thuyết tổng quát trọn vẹn.

Nguồn: Bản chất của toán học (J.D. Barrow, 1991), Viện Giáo Dục IRED, 15-05-2021.