Bản chất của toán học (Phần 1)
1 - TRI THỨC VÀ TRI THỨC TOÁN HỌC
Có một lô quan điểm triết học về bản chất tri thức và sự tiếp thu tri thức nói chung, và tri thức toán học nói riêng1. Hãy xem xét bốn quan điểm phổ biến nhất. Trước tiên là chủ nghĩa kinh nghiệm, theo đó mọi tri thức của chúng ta đều là những thu nhận từ kinh nghiệm; đối với những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm, không có những chân lý tất yếu. Tiếp đến là chủ nghĩa duy tâm, nó tưởng tượng ra một thế giới bên ngoài tinh thần của chúng ta, nơi mọi sự vật đều tồn tại độc lập với ta, và khẳng định rằng những tri thức mà ta có được đều là kết quả của một quá trình khám phá2. Sau đó là thao tác luận, gần đây hơn vì chỉ thịnh hành vào khúc quanh giữa hai thế kỷ 19-20: nó tìm cách xác định ý nghĩa của mọi sự vật bằng một chuỗi giai đoạn hay “thao tác” phải thực hiện để đo đạc chúng3. Cuối cùng, lô-gic luận truyền thống; nó có cùng xu hướng hạn chế, và tìm cách quy giản mọi tri thức của chúng ta vào một hệ thống tiên đề và quy tắc suy luận, đến nỗi nó được định nghĩa là tập hợp của mọi diễn dịch có thể suy ra từ mọi giả định ban đầu có thể được đề xuất, và chặt chẽ về mặt lô-gic.
2 – PHÁT MINH LUẬN TRONG TOÁN HỌC
Mỗi học thuyết lớn này đều tương ứng với một cách xác định và diễn giải toán học riêng. Các nhà kinh nghiệm chủ nghĩa ủng hộ phát minh luận: toán học là những phát minh của các nhà toán học không hơn không kém. Đây là những sản phẩm thuần túy của trí tuệ, nhằm vào các mục đích cụ thể thuộc loại thực tiễn hoặc thẩm mỹ. Những thực thể toán học như “tập hợp” hoặc “tam giác” sẽ không tồn tại nếu không có các nhà toán học. Con người phát minh ra các ngành toán học, chứ không phát hiện ra chúng. Theo các nhà kinh nghiệm, đấy chính là lý do khiến chúng ta thấy toán học là hữu ích như vậy... Có lẽ tính hữu ích của toán học chỉ phản ánh sự thiếu hiểu biết của ta về thế giới: đây là cái đối tượng mà các khía cạnh toán học là mặt duy nhất chúng ta đã tìm hiểu thành công.
Cách diễn giải này là phổ biến trong giới “người tiêu dùng” toán học – các nhà nghiên cứu khoa học xã hội hay kinh tế chẳng hạn – hơn là giữa các nhà toán học với nhau. Ảnh hưởng của nó được thấy rõ trên vô số sách được xuất bản dưới các tựa đề như Mô Hình Toán Học Của Các Hiện Tượng Âm Thanh, trong khi khoảng một trăm năm trước đây, người ta đã chọn một tựa đề quyết đoán và bao quát hơn như Lý Thuyết Âm Thanh. Sự nhấn mạnh trên vai trò kẻ can thiệp vào hiện tượng này của con người có liên quan chặt chẽ với cách tiếp cận của Kant*. Giả sử rằng có một hiện thực cuối cùng đi nữa, chúng ta cũng không thể nắm bắt nó mà không sàng lọc những quan sát và kinh nghiệm của ta qua các phạm trù trí tuệ nào đó, nhằm sắp xếp nó thành một trật tự có thể hiểu được đối với ta. Vì vậy, ngay cả khi chúng ta tin vào Vũ trụ toán học, điều này không có nghĩa rằng nó thực sự là như thế, giống như chúng ta cũng không thể khẳng định rằng bầu trời có màu hồng, lấy cớ rằng nó hiện ra với ta như thế, khi chúng ta đeo lên mắt cặp kính với tròng thủy tinh màu hồng.
Nhưng, nếu toán học chỉ là một phát minh của con người, và nếu các nhà khoa học sử dụng nó chỉ vì toán học là hữu ích và có sẵn, thì chúng ta đã phải phân biệt được nhiều đặc trưng văn hóa quan trọng trong lĩnh vực này. Thế nhưng, dù có những biến thể phong cách trong lối trình bày các ngành toán học, và nội dung nghiên cứu đó đây, chúng chỉ là những sắc thái hời hợt bên ngoài. Chúng ta đều biết rằng cùng một số định lý đã được phát hiện ra bởi các học giả sinh trưởng dưới nhiều vĩ độ khác nhau, ở các thời kỳ khác nhau của lịch sử, trong nhiều giới chính trị, kinh tế và văn hóa chẳng liên quan gì tới nhau, và điều này mâu thuẫn với quan điểm đơn giản trên. Hơn nữa, hiện tượng bất thường này – những phát hiện cùng một chân lý toán học, độc lập trong thời gian và không gian – còn cho thấy rõ tính đặc thù của thiên tài sáng tạo toán học so với âm nhạc hay nghệ thuật: định lý Pythagoras* chẳng hạn đã thoát thai từ trí tưởng tượng của hơn một học giả xuyên suốt lịch sử4. Sự kiện này chứng minh rằng nền tảng của toán học tồn tại thực sự bên ngoài trí tuệ của con người chứ không hề được định hình bởi phương thức tư duy của ta.
Những người theo lối tiếp cận với hiệu quả tối thiểu này của toán học có thể cố gắng đi xa hơn Kant một chút, bằng cách lập luận rằng, nếu quả thật là những phạm trù trí tuệ của ta có thanh lọc tri thức thô của chúng ta về thế giới đi nữa, thì dù sao chúng cũng chỉ làm biến dạng mọi vật một cách không đáng kể. Bởi vì những năng lực trí tuệ của ta là kết quả của một quá trình chọn lọc tự nhiên, và quá trình này phải chọn những biểu hiện về thế giới nào trung thực nhất với bản chất thực sự của nó. Chính đôi mắt của ta cho chúng ta biết về bản chất thực sự của ánh sáng, và chính đôi tai của ta cho chúng ta biết về bản chất thực sự của âm thanh. Nếu trí tuệ của ta đã mô hình hóa những biểu hiện rất xa cách với hiện thực, thì các biểu hiện này sẽ sống sót ngắn ngủi hơn trong thời gian, so với những biểu hiện trung thực. Rốt cuộc, lập luận trên không những chỉ thuyết phục chúng ta rằng những biến dạng trí tuệ do các phạm trù của Kant gây ra có thể đều là vô hại; mà nó còn giải thích nguồn gốc của các phạm trù ấy, và vì sao những cá nhân khác nhau lại cùng chia sẻ chúng. Nhưng vẫn có một cái gì đó không ổn trong lý thuyết này, nếu chúng ta muốn có một cách tiếp cận trực tiếp và hiện thực về vạn vật. Trong khi, một mặt, nó dường như đảm bảo với chúng ta rằng quan niệm của ta về thế giới, bao gồm cả các khía cạnh toán học của nó, là đủ chính xác để cho phép chúng ta tồn tại xuyên suốt quá trình tiến hóa, thì mặt khác, tại sao nó còn cho rằng các biểu hiện của ta về những đối tượng u mờ nhất trong Vũ trụ, những sự vật không có vai trò nào trong quá trình này, là không được quan niệm một cách đúng đắn? Trong khi điều thường thấy là chính trong các lĩnh vực khoa học xa cách nhất với các bộ môn đóng một vai trò quan trọng trong quá trình tiến hóa của chúng ta mà toán học lại tỏ ra là đáng tin cậy và hiệu quả nhất.
(còn nữa)
Chú thích
(1) Xem thêm, trên cùng trang mục này, chú thích thứ 2 trong bài: Max Black, Ba Luận Thuyết Về Bản Chất Của Toán Học.
(2) Trên cơ sở này, Platōn vẫn được xem là triết gia duy tâm chủ nghĩa, vì ông cho rằng có một thế giới những Ý thể tồn tại trên cõi siêu nhiên ở đâu đó. Nhưng cũng trên cơ sở này, khi ông cho rằng những ý tưởng toán học (hình tròn tuyệt đối, sự bình đẳng tuyệt đối chẳng hạn) tồn tại thực sự ở một nơi nào đấy, mà con người chỉ phát hiện (“hồi tưởng” lại) chứ không hề phát minh ra, ông được các nhà toán học xem là thuộc về trường phái hiện thực (ngoài đoạn 4a ở trên, xem thêm, trên cùng trang mục này, các trích đoạn liên quan của Platōn và Albert Lautman (Chủ Thuyết Hiện Thực Toán Học) khi có thể tham khảo. Sự bất nhất nói trên còn cho thấy việc gắn lên tư tưởng của một tác giả nào đó cái nhãn hiệu “chủ nghĩa” này hay “chủ thuyết” nọ không phải là một thẩm định luôn luôn hiển nhiên, thích đáng.
(3) Xem các bài về định nghĩa và luận thuyết thao tác trên trang mục Triết Lý Các Khoa Học, khi có thể tham khảo.
(4) Một số bằng chứng cho thấy các nhà toán học ở các khu vực Lưỡng Hà, Ấn Độ và Trung Quốc đều từng biết định lý này, và từng đưa ra các chứng minh cho một số trường hợp đặc biệt. Mặt khác, định lý này còn có thể được chứng minh – trường hợp có lẽ là nhiều nhất trong các định lý toán học – bằng nhiều cách (như hình học và đại số học, một số có lịch sử hàng nghìn năm tuổi), và tổng quát hóa cũng bằng nhiều cách khác nhau (cho các tam giác bất kỳ, cho không gian nhiều chiều, cho các không gian phi Eukleidēs).
Nguồn: Bản chất của toán học (J.D. Barrow, 1991), Viện Giáo Dục IRED, 15-05-2021.
