Toán học và triết học

Sự thành công của phương pháp khoa học đã khiến giới triết gia mơ tưởng tới một thứ triết lý mang tính khoa học, và có triển vọng một ngày nào đó đạt được mức độ chắc chắn, cũng như những thành tựu chồng chất của khoa học, bằng cách vay mượn chính những kỹ thuật của các ngành khoa học thiết định. Tuy nhiên, trong chức năng phê phán của nó – và chỉ với khía cạnh này của triết học mà chúng ta quan tâm ở đây – triết học không thể trông mong cạnh tranh với các ngành khoa học được. Việc phát hiện ra và khái quát hóa những kinh nghiệm là công việc của các ngành khoa học thực nghiệm, việc xây dựng những định luật hiển nhiên thuộc về toán học, và cả hai lĩnh vực này đều nằm ngoài phạm vi của triết học phê phán. Đối tượng của nó ở đây là làm sáng tỏ bằng tinh thần phê phán phần tri ​​thức đã được tổ chức, hệ thống hóa; và trong các hệ thống này, nó thiên về các ngành khoa học xưa cũ hơn, phát triển hơn, kết hợp được vừa sự phức tạp cực độ trong lý thuyết, vừa sự chặt chẽ nhất quán trong thực tiễn. Bởi vì các phẩm chất này, khi được liên kết với mức độ tiện ích cao trong các ứng dụng thực tiễn, gây ra nơi những người sáng tạo và ngưỡng mộ khoa học một trạng thái tự ý thức mời gọi triết học vào dịch vụ biện giải. Ở mỗi khía cạnh trên, khoa toán học là một lĩnh vực đáng ngưỡng mộ nhất để thực thi triết học ứng dụng.

Khẳng định hàm ý rằng những khoa học thiết định lâu đời đều đã đạt mức độ chặt chẽ cao cần được làm nhẹ bớt, bằng sự thừa nhận rõ ràng rằng không một khoa học nào đang còn trong tiến trình phát triển đã vượt quá trạng thái nhất quán một phần nào đó mà thôi. Bởi vì đặc trưng của nghiên cứu khoa học là luôn luôn phải lựa chọn giữa các lý thuyết xung khắc với nhau, là tình trạng thiếu những dữ liệu liên quan sâu sát, nên thường phải đặt như định đề* các giả thuyết tạm thời, mà sau đó phải hạn chế trong ứng dụng hoặc thậm chí phải vất bỏ hoàn toàn.

Cần phân biệt các định đề thành giả thuyết và nguyên tắc. Bởi khi tri thức được tích lũy, trong số những định đề cuối cùng chẳng những đã không bị vất bỏ mà còn được sáp nhập vào cơ thể chính của khoa học, một số trở thành định lý hoặc định luật, trong khi những cái khác dần dần đạt được đặc tính là nguyên lý tổng quát, hiện thân của những khái niệm cơ bản trong khoa học, nhờ sự thành công của chúng trong việc kích thích những công trình nghiên cứu hiệu quả. Sự kiện các giả thuyết – tức là những định đề có thể trở thành định luật – có thể vô tình bị chứng minh là sai xảy ra khá thường xuyên, nhưng các nguyên lý, bởi vì chúng kiểm soát cách thức ta đặt ra các vấn đề và giải quyết những khó khăn, về hình thức không dễ gì bị phản chứng, và sự từ bỏ chúng đòi hỏi một cuộc cách mạng táo bạo trong phương pháp khoa học.

Sự mơ hồ của những khái niệm xuất hiện trong các nguyên lý quy phạm khiến cho việc công thức hóa chúng một cách chính xác trở thành một lý tưởng chỉ có thể đạt được bằng những tiếp cận xấp xỉ mỗi lúc một sát; sự hiểu biết rõ ràng về các khái niệm được sử dụng chỉ xảy ra khá muộn trong lịch sử của một khoa học.

Định đề và khái niệm được tạo ra không phải nhờ thỏa thuận chung giữa các nhà khoa học, mà bởi những cá nhân hoặc nhóm nhỏ rải rác. Tại thời điểm chúng được quan niệm, các khái niệm chưa thành hình, những ý nghĩa bao hàm trong các lý thuyết chỉ được hiểu một phần; sau đó, các lý thuyết do giới chuyên gia tạo ra trong một bộ phận của khoa học được tìm thấy là mâu thuẫn với những định đề của các bộ phận khác, tự bản thân chúng cũng có vẻ hợp lý tương đương hoặc được thiết lập vững chắc tương tự. Sự cần thiết phải giải quyết các bất đồng như vậy tác động ngược lại trên những khái niệm khoa học, dẫn đến việc xây dựng chính xác hơn các định đề, và hiểu rõ hơn những khái niệm liên quan. Ngay cả ở các thời điểm có vẻ cực kỳ ổn định, điểm cân bằng của quan điểm khoa học chỉ là sự bất động của một cơ thể dưới tác động của những lực lượng đối lập với nhau.

Đây là tình trạng phổ biến trong kinh nghiệm của bất kỳ nhà nghiên cứu khoa học nào; nhưng nó còn thường xảy ra hơn cả sự xung đột ý tưởng riêng tư trong đầu của nhà phát minh, vốn là một phần của quá trình phát minh nữa. Bởi vì những mâu thuẫn này nằm ngay trong bản thân các nguyên lý của khoa học, được tạo ra bởi sự mơ hồ không thể tránh khỏi của những khái niệm mà nó sử dụng. Tuy nhiên, nhiều suy nghĩ và thí nghiệm của các nhà phát minh lý thuyết có thể xoa dịu tình trạng đối lập giữa những ý kiến ​​trái ngược nhau, bằng cách sửa đổi và loại bỏ sự tối nghĩa, bởi thường vẫn còn có mâu thuẫn ngay cả nơi những lý thuyết khoa học đã được chấp nhận rộng rãi. Trong các lý thuyết của mọi ngành khoa học còn đang có sự tiến bộ – sinh học, vật lý học, hóa học, toán học – nhiều nghịch lý và mâu thuẫn nổi cộm vẫn được tìm thấy; chỉ những khoa học đã thoái hóa thành các danh mục – như giải phẫu học – là hoàn toàn thống nhất chặt chẽ. Điều quan trọng là sự nhận diện và phân biệt các mâu thuẫn đã được tạo ra thông qua sự xây dựng không chính xác những khái niệm; chúng thường là một dấu hiệu của sức sống, và cho thấy rằng cái khả năng của nhà khoa học trong việc nhận ra sự liên quan và tính thống nhất, trong một lượng lớn và hỗn độn những hiện tượng không đồng nhất, là sự biểu đạt thận trọng của những khám phá sẽ tới của nó phía trước.

Không nơi đâu những mâu thuẫn như vậy lại xảy ra thường xuyên hơn là trong toán học, nhưng cũng không có tiến bộ nào trong khoa học lại ổn định hơn ở đây. Bên cạnh các tên tuổi nổi tiếng khác, [Carl Friedrich] Gauss (1777-1855)* và [Pierre de] Fermat (1607-1665)* là hai minh họa đầy đủ về các nhà toán học nổi tiếng từng có khả năng đạt được, bằng lối lý luận có vẻ là ngụy biện, những kết quả giá trị và có tầm quan trọng cao nhất cho những nghiên cứu toán học về sau.

Vì vậy, tựa đề “Những Nền Tảng Của Toán Học” mà loại phân tích triết học về môn học này thường nhận được là một tên gọi dễ gây hiểu lầm nếu, khi kết hợp với những mâu thuẫn nói trên, nó gợi lên cái ý rằng sự chắc chắn truyền thống của toán học đang bị đặt thành vấn đề. Đây là một sai lầm mà giới triết gia đặc biệt dễ rơi vào, khi họ tưởng tượng rằng tòa lâu đài toán học đang gặp nguy hiểm từ những nền tảng yếu đuối, rằng triết học phải được mời đến để ghé vai chống đỡ cái gánh nặng của thảm họa này, như một [thiên thần] Atlas* mới.

Việc loại bỏ dần dần các mâu thuẫn và nghịch lý trong toán học là công việc nội bộ của một tầm nhìn thông suốt bên trong toán học, một quá trình liên tục có thể được phác họa lại rõ ràng thông qua chuỗi công trình nghiên cứu toán học kế tiếp. Nhưng phân tích triết học cũng có một mục đích không kém quan trọng là sự phơi bày các cấu trúc của toán học: đầu tiên là cấu trúc bên trong, bằng cách chỉ ra sự phụ thuộc lẫn nhau của những định lý, tiên đề, và định nghĩa, sự phân biệt giữa các giả thuyết và nguyên lý, v. v.; sau đó là cấu trúc bên ngoài, quan hệ giữa hai thứ tri ​​thức toán học và phi toán học.

Sự phơi bày cấu trúc bên trong của toán học có tầm quan trọng kỹ thuật đối với chính nó, bằng cách dẫn tới sự vất bỏ các định đề không cần thiết, và xin nhắc lại một lần nữa, để nhận ra những tương đồng bất ngờ giữa các bộ phận của nhiều ngành toán học khác biệt. Loại nghiên cứu hình thái như vậy đòi hỏi kỹ thuật toán học, và đặc biệt là việc sử dụng rộng rãi những ký hiệu. Bởi vì toán học là sự nghiên cứu về mọi cấu trúc mà hình thức của chúng có thể được biểu thị bằng những ký hiệu; toán học là ngữ pháp của mọi hệ thống ký hiệu và, do đó, các phương pháp toán học là đặc biệt phù hợp với việc nghiên cứu cấu trúc bên trong của chính nó. Nhưng cấu trúc của toán học, dù hàm ẩn trong các định lý của nó, có xu hướng bị trộn lẫn, ngay cả đối với những người quen thuộc nhất với nó, do không được hiển thị rõ ràng. Nhiệm vụ của triết gia là phơi bày cái cấu trúc nội tại này, và phát minh ra một hệ ký hiệu phù hợp với việc biểu đạt nó. Việc loại bỏ các định đề không cần thiết, việc phơi bày rõ ràng cấu trúc của toán học, sẽ ngăn ngừa mọi nhầm lẫn về mục đích trong môn học, và làm tăng thêm sự hài lòng về mặt thẩm mỹ, khi chúng ta chiêm ngưỡng nó.

Theo ý kiến của người viết bài này, thứ kỹ thuật cần thiết cho loại phân tích trên không đòi hỏi ta phải chấp nhận bất kỳ một giáo điều siêu hình nào. Dưới khía cạnh hệ thống² của nó, đây có thể được xem là một nhánh của toán học ứng dụng, nếu môn học này không bị giới hạn vào chỉ các ứng dụng vật lý thôi, mà được phép bao gồm bất kỳ chủ đề nào có thể tuân thủ lối điều tra toán học; dưới khía cạnh triết học của nó, đây là một nhánh của lô-gic học ứng dụng. Tuy nhiên, các chi tiết của một kỹ thuật như vậy phải được dành riêng cho một giải trình trong tương lai. Mục đích của tiểu luận này chỉ là để báo cáo và phê phán những nỗ lực đã được thực hiện nhằm phân tích toán học.

Phân tích triết học phải tính đến sự thiếu thốn cấu trúc, bởi trong chừng mức khoa học còn chứa những bất nhất, nó không thể được coi là một hệ thống, mà ở mức phát triển đó, phải được xem là còn đang trong quá trình tiến tới, chứ chưa phải là đã đạt được, một hình thức. Tuy nhiên, dưới ảnh hưởng của chủ nghĩa kinh viện, các triết gia lại quá thường xuyên bỏ qua thực tế này, và vì vậy dễ bị các nhà khoa học thực hành nghi ngại. Mỗi khi gặp khó khăn trong việc rọi sáng những tri ​​thức hiện có, do cảm tưởng quen thuộc với hệ thống triết lý riêng, hoặc do quán tính tư duy theo thói quen, các triết gia dễ có ý muốn cân bằng sự ngưỡng mộ thái quá phần đã được xây dựng của khoa học hiện đại – vốn đã rất phức tạp, dù chưa biểu hiện được hết những thành công của nó – bằng những bổ sung từ lối ngoại suy không chính đáng; lúc đó, cám dỗ đưa kỹ thuật thần học vào hỗ trợ cho phương pháp phân tích của họ là rất lớn. Như người ta từng mời Thượng Đế đến để giải quyết những khó khăn của chủ nghĩa duy tâm kiểu Berkeley*, hoặc ở những thời điểm ít tham vọng hơn, như Bertrand Russell* đã cầu viện tới Tiên đề Quy giản (Axiom of Reducibility)³.

Không có ngành triết học phê phán nào gặp nguy cơ này lớn hơn là trong phân tích toán học, một môn học nhận được từ chủ đề của nó một sự dễ dãi nguy hiểm trong việc tạo ra những hệ thống ký hiệu mà độ phức tạp về kiến ​​trúc đôi khi cũng ngang ngửa với mức lao động cần thiết để vận dụng chúng một cách thông minh.

Những nghiên cứu về triết lý toán học gần đây đã cho thấy rằng mỗi lý thuyết trong ba học thuyết chính về bản chất của toán học được thảo luận trong quyển sách này đều mang nhiều khiếm khuyết nghiêm trọng, một số trong đó có thể được quy cho các nguyên nhân vừa được nêu lên ở trên. Với cảnh báo gửi cho quý độc giả này, chúng tôi xin kết thúc phần nhận định tổng quát ở đây, và bắt đầu phần tóm tắt sơ bộ ba loại học thuyết chính về bản chất của toán học, vốn là đối tượng nghiên cứu của chúng tôi.

Chú thích:

(1) Max Black (1909-1988): triết gia người Mỹ, một trong những nhân vật hàng đầu của triết học phân tích. Tác phẩm: The Nature of Mathematics (1933); Language and philosophy (1949); The Nature of Mathematics and the Mathematics of Nature (1950); Models and metaphors (1962).

(2) Sự phân biệt hai khía cạnh triết học và hệ thống ở đây xuất phát từ Rudolf Carnap, Die physikalisch Sprache als Universalsprache der Wissenschaft (Ngôn Ngữ Vật Lý Như Ngôn Ngữ Phổ Quát Của Tri Thức). Ở trang 142 của tác phẩm này, Black giải thích thêm: “hai khía cạnh này tương ứng với hai lối sử dụng khác biệt của ký hiệu, như từ với ý nghĩa (khía cạnh triết học), và như dấu hiệu thay thế của từ (khía cạnh hệ thống)”, [với từ: suy tư về những ý nghĩa mà chúng biểu đạt; với dấu hiệu thay thế: không quan tâm tới những ý nghĩa mà chúng biểu trưng].

(3) Tiên đề được Bertrand Russell và Alfred N. Whitehead đề xuất trong Principia Mathematica. Trong hệ thống này, các hàm mệnh đề (propositional functions) được sắp xếp thành hai cấp bậc, như một bộ phận từ sự phân nhánh của lý thuyết các loại hình (theory of types). Tiên đề trên nói rằng, cho bất kỳ một hàm (function) ở bất cứ cấp bậc nào, luôn luôn có một hàm tương đương về hình thức ở cấp thứ nhất; do đó, hiệu lực của nó là nhằm vô hiệu hóa việc đặt ra nhiều cấp bậc khác nhau cho các hàm. Đây là tiên đề cần thiết cho phép ta xây dựng phần toán học sơ đẳng, đặc biệt là để chứng thực nguyên lý quy nạp toán học. Xem thêm trên trang mục Lô-gic Học: Raymond Bayer, Về “Principia Mathematica”.

Nguồn: Max Black, Bản Chất Của Toán Học, Một Tổng Quan Phê Phán – Dẫn Nhập (The Nature of Mathematics, A Critical Survey – Introduction, Totowa, N. J., Littlefield, Adams & Co., 1933, tr. 1-6)

Nguồn bản dịch: Toán học và Triết học (M. Black, 1933), Ired.Edu.Vn, 15-9-2020.