Toán học và kinh tế học, tính phong phú và những giới hạn của một hình thức hoá (Phần 2)
Đá bóng và phạt đền
Bây giờ ta chuyển sang chủ đề khác: đá bóng, và chính xác hơn các quả phạt đền.Pha này của trò chơi được biết rõ: quả bóng được đặt ở điểm phạt đền, cách khung thành 11 m. Cầu thủ đá phạt đền phải lấy đà để sút mà không được làm động tác giả. Thủ môn phải giữ vị trí trên vạch vôi giữa hai cọc khung thành cho tới khi quả bóng được đá. Trong thực tế, điều này có nghĩa là thủ môn có rất ít thời gian để phản ứng: thủ môn phải quyết định trước khi quả bóng bị đá mình sẽ nhảy sang phía nào hay giữ nguyên vị trí. Ta đứng trước một tình thế chiến lược điển hình: cầu thủ đá phạt muốn đá sang phía đối lập với phía bắt bóng của thủ môn còn thủ môn muốn nhảy sang phía bóng được đá tới. Mỗi người đều muốn đoán trước hành động của đối thủ.
Lời giải toán học cũng được biết rõ: cầu thủ tấn công và thủ môn phải quyết định ngẫu nhiên, theo những xác suất mà chúng ta sẽ xác định bằng một mô hình đơn giản. Xin nhắc lại là cầu thủ tấn công có một phía tự nhiên, với cú sút được đảm bảo hơn (ví dụ, một cầu thủ thuận chân phải sút tốt hơn bằng chân phải và phía tự nhiên, hướng đến của quả bóng, là phía trái), trong lúc thủ môn thì đối xứng hơn. Kí hiệu bằng T phía tự nhiên này, P phía đối lập với T và cho cầu thủ tấn công một khả năng cuối cùng, đá thẳng vào G ở giữa cầu môn. Tương tự như vậy, thủ môn có ba khả năng: nhảy sang phía tự nhiên của cầu thủ (họ là những nhà chuyên nghiệp, biết nhau rõ ràng và thủ môn biết phía tự nhiên của đối thủ), sang phía đối lập hay giữ nguyên vị trí. Bảng dưới đây cho biết, cho mỗi lựa chọn của cầu thủ và mỗi lựa chọn của thủ
môn, xác suất lưới bị thủng:
Những trị số của các xác suất trên phụ thuộc vào cặp cầu thủ/thủ môn (CT/TM). Cónhững bất đẳng thức hiển nhiên:
πP > PP, πT > PT, πP > ∝,
πT > ∝, πT > πP, PT > PP
Lời giải toán học (cân bằng Nash) của trò chơi này có dạng “chiến lược hỗn hợp”, nghĩa là cầu thủ và thủ môn phải rút thăm, tất nhiên là độc lập với nhau, theo hướng nào cầu thủ sẽ sút và thủ môn sẽ nhảy theo các xác suất (PT, PG, PP) đối với cầu thủ:
và đối với thủ môn:
Trong mỗi trường hợp trên xác suất PG được cho bởi 1 − PT − PP.
Bây giờ ta đáp xuống đất liền. Trong bóng đá hiện đại, ngày càng khó ghi bàn và do đó phạt đền càng quan trọng cực kì, trận chung kết World Cup vừa rồi đã kết thúc bằng màn sút luân lưu. Trong những điều kiện đó, liệu có thể hiểu được cảm nhận của một cầu thủ chuyên nghiệp khi đá thành công (hoặc thất bại) một quả phạt đền, hay ngay chỉ trong một giải bóng đá ngoại hạng thôi? Sự căng thẳng là cảm nhận được trong các dữ liệu thống kê: khi luyện tập, 90% các quả phạt đền được đá thành công nhưng khi ra trận tỉ số này rơi xuống còn 80%. Điều chắc chắn là cầu thủ và thủ môn đều được luyện tập tốt, đối với họ những được mất là vô cùng to lớn và họ sẽ
nỗ lực hết mình để người thì đá thủng lưới còn người thì cản được bóng. Ở đây không có vấn đề tranh cãi hàn lâm về con lừa của Buridan, nhưng đơn giản là chuyện tiền bạc.
Mô hình toán học có thể dự báo chiến lược của các đối thủ chăng? Muốn thế phải so sánh các tần suất lí thuyết (pT, pG, pP) với các tần suất thực tế khi họ chọn đá/bắt bóng vào bên trái, giữa, hay bên phải cầu môn.
Tiếc rằng điều này là không thể. Như đã nói, các tham số (PT, PP, πT, πP, ∝) của mô hình là riêng cho mỗi cặp cầu thủ/thủ môn: nếu thay đổi một người trong cặp thì cũng phải thay đổi trị số của các tham số, và do đó làm thay đổi luôn cân bằng Nash. Thế mà rất hiếm khi một cặp lại gặp nhau, nhiều lắm là bốn hay năm lần một năm, dù sao cũng quá ít để có những thống kê có ý nghĩa. Nói cách khác, không thể kiểm định các công thức (1), (2), (3) và (4).
Do đó phải tìm những hệ quả khác của lí thuyết mà ta có thể kiểm định. Đó là công trình của Chiappori, Lewitt và Groseclose [Chiappori, Lewitt & Groseclose,2003]. Họ đã phát hiện các câu hỏi sau:
- cầu thủ nên đá nhiều hơn về phía tự nhiên của mình hay phía ngược lại? - thủ môn nên di chuyển về phía tự nhiên của cầu thủ hay phía ngược lại? - thủ môn nên chơi nhiều hơn, bằng hay ít hơn cầu thủ ở phía tự nhiên? - cầu thủ nên chơi nhiều hơn, bằng hay ít hơn thủ môn ở phía giữa khung thành?
Ta nhận thấy là những câu trả lời cho các câu hỏi trên (có lẽ ngoại trừ câu đầu tiên) là không hiển nhiên tí nào. Câu trả lời của mô hình là không úp mở: cầu thủ cũng như thủ môn phải chơi nhiều ở phía tự nhiên hơn là ở phía ngược lại, thủ môn phải chơi phía tự nhiên thường hơn là cầu thủ, và cầu thủ phải nhắm vào giữa khung thành nhiều hơn là thủ môn. Việc còn lại là so sánh các kết quả lí thuyết với các dữ liệu: 459 quả phạt đền đã được 162 cầu thủ đá với 88 thủ môn trong một mùa giải vô địch bóng đá Pháp và Italia. Kết quả cho thấy là các cầu thủ và thủ môn thường chọn phía tự nhiên hơn là phía khác (206/104 và 260/188), các thủ môn thường chọn phía tự nhiên hơn là các cầu thủ (56,6% đối lại 44,9%), các cầu thủ chọn đá/bắt bóng ở giữa khung thành nhiều hơn là các thủ môn (79 đối lại 11). Một nhận xét để kết thúc đoạn này về hành vi chiến lược của các cá thể: nếu, rất tiếc cho bạn, bạn thích tennis hơn là bóng đá, bạn sẽ tìm thấy những kết luận tương tự trong bài của Walter và Wooders [Walter & Wooders,2001].
Kết luận
Tôi nghĩ rằng mình đã cho thấy là cách tiếp cận kinh tế có khả năng nói được điều gì đó đúng về thế giới xã hội, cũng như là hình thức hoá toán học có khả năng nói được điều gì đó đúng về thế giới vật lí. Các quy tắc của luật chơi là giống nhau: một sự tới lui qua lại giữa lí thuyết vốn phải sản sinh ra những hệ quả kiểm định được, và thí nghiệm được giao việc kiểm tra hay phủ nhận các hệ quả này.
Xin ghi nhận là vấn đề ở đây không phải là để biết con người nghĩ gì mà để biết họ làm gì. Cần phải tránh một ảo ảnh, song song với ảo tưởng kinh viện mà tôi gọi là ảo tưởng về nội tâm. Ảo tưởng này muốn đòi hỏi tính duy lí phải có tính ý thức. Thế mà hoàn toàn không có điều này: người tiêu dùng khi mua sắm giải những phương trình Slutsky mà không hề biết đến chúng. Vì sao các thủ môn khi đối mặt với một quả phạt đền hành động phù hợp với những tiên đoán của lí thuyết? Tôi thấy có thể có ba cách giải thích:
- các thủ môn đã làm các tính toán mà tôi đã trình bày, ước lượng các tham số tương ứng và chỉ đơn giản triển khai chiến lược cân bằng;
- các thủ môn không có hiểu biết hình thức nhưng có khả năng học tập, và việc họ ứng dụng chiến lược tốt là kết quả của một sự tập huấn lâu dài và kinh nghiệm tích luỹ;
- các thủ môn không có hiểu biết hình thức, không có khả năng học tập, nhưng các tần suất bắt bóng tốt được ghi trong gen sinh học của họ, và chính vì thế mà họ trở thành cầu thủ và được tham gia vào đội tuyển quốc gia.
Ta ở vào tình thế hoàn toàn giống với tình thế của Pierre de Fermat khi ông đề xuất nguyên lí tác động tối thiểu để giải thích luật khúc xạ hay của các nhà sáng lập cơ học lượng tử, khi họ chỉ ra rằng ở cấp độ hạ nguyên tử, kết quả của một độ đo là một hiện tượng ngẫu nhiên: tất cả các tác giả này đều buộc phải đi xa hơn để giải thích cái gì đằng sau nguyên lí tác động tối thiểu hay tính bất định lượng tử.
Họ đều từ chối, tuân thủ lời khuyên của Descartes, người khuyến cáo kẻ sáng mắt không nên theo kẻ mù vào giao đấu trong hang động.
Do đó để kết thúc bài trình bày này, tôi có thể đề cập vấn đề tính duy lí. Cách tiếp cận kinh tế về hành vi con người không có gì để nói về các quá trình diễn ra bên trong chủ thể. Hơn nữa, các quá trình này là không thể quan sát, ngoại trừ bởi chính chủ thể, vốn không đáng tin cậy: bạn có thể thấy được những gì tôi làm, nghe được những gì tôi nói, bạn sẽ không bao giờ biết được những gì tôi nghĩ. Điều mà lí thuyết kinh tế đề nghị là một mô hình hình thức về hành vi, một mô hình phải được đánh giá theo các tiêu chí thông thường trong khoa học, nghĩa là bằng cách tạo ra những thử nghiệm kiểm định được về mặt thực nghiệm chứ không quy chiếu về một tính chủ quan mà theo bản chất là vô ước.
(Còn nữa)
Nguồn: “Mathématiques et économie, fécondité et limites d’une formalisation” trong Théorie économique et rationalité của Ivar Ekeland & Jon Elster, Paris, Vuibert, 2011, trang 5-38.
