Hình học tiên đề, hình học thực tiễn

Toán học có quan hệ như thế nào với hiện thực? Trong trích đoạn dưới đây, được rút ra từ bài phát biểu của ông tại Viện Hàn Lâm Khoa Học Berlin ngày 27-01-1921, Geometrie und Erfahrung, Albert Einstein cho rằng đây là hai lĩnh vực biệt lập, và tự thân Toán học thật ra chỉ là một hệ thống tiên đề (axiomatique) thuần túy hình thức.

Để dịch trích đoạn này, chúng tôi dùng bản tiếng Pháp, có đối chiếu với (và đôi khi thay bằng các từ hay câu trong) bản tiếng Anh, để có được một bản dịch Việt ngữ mà chúng tôi hy vọng là “tốt” hơn cả. Cả hai bản dịch Anh và Pháp đều có thể được tải xuống dễ dàng từ Internet.

Có một lý do khiến toán học được đặc biệt trọng vọng và đặt trên mọi ngành khoa học khác – đó là vì các định lý toán học đều hoàn toàn chắc chắn và không thể chối cãi, trong khi những định luật của các ngành khoa học khác đều còn gây tranh cãi đến một mức độ nhất định, và luôn luôn có nguy cơ bị lật đổ bởi sự phát hiện ra những sự kiện mới. Mặc dù vậy, người nghiên cứu ở một ngành khoa học khác cũng không cần phải ganh tị với nhà toán học, nếu như các định lý toán học chỉ đề cập tới những đối tượng của trí tưởng tượng đơn thuần của chúng ta, chứ không phải là những đối tượng trong hiện thực. Bởi vì chẳng có gì đáng ngạc nhiên, khi nhiều người khác nhau cùng đạt tới một kết luận lô-gic, một khi họ đã nhất trí với nhau trên các mệnh đề cơ bản (tiên đề)¹, cũng như trên loại phương pháp từ đấy những mệnh đề khác sẽ được suy ra. Thế nhưng tiếng tăm của toán học còn được đặt trên một lý do khác nữa – đó là nó mang lại cho các khoa học tự nhiên nghiêm ngặt một mức độ chắc chắn nào đó mà chúng không thể nào tự đạt tới được bằng cách khác.

Ở đây phát sinh một bí ẩn đã khiến các nhà nghiên cứu ở mọi thời đại đều cảm thấy cực kỳ bối rối. Làm thế nào mà toán học, một sản phẩm của tư tưởng con người, độc lập với mọi kinh nghiệm, lại có thể thích nghi vào các đối tượng của hiện thực một cách đáng ngưỡng mộ như vậy? Chỉ bằng hoạt động của chính nó, lý trí của con người có khả năng khám phá ra các đặc tính của mọi vật thể trong hiện thực mà không cần tới kinh nghiệm thực sao?

Đối với câu hỏi này, theo tôi, chúng ta phải trả lời như sau: trong chừng mức là toán học đề cập tới hiện thực, chúng không chắc chắn, và trong chừng mức chúng là chắc chắn, toán học không đề cập đến hiện thực. Sự rõ ràng hoàn toàn về tình huống này đã chỉ có thể trở thành điểm đồng thuận chung của chúng ta nhờ một khởi đầu mới trong toán học được biết tới dưới cái tên là lô-gic toán học (mathematical logic) hay “tiên đề học” (axiomatics)². Cốt lõi của bước tiến bộ mà nó thực hiện ở đây là phần lô-gic và hình thức được tách rời hoàn toàn khỏi phần nội dung khách quan hay trực quan. Theo tiên đề học, chỉ có phần lô-gic và hình thức là đối tượng của toán học mà thôi, chứ không phải là phần nội dung trực quan hay cái gì khác được gắn liền với nó.

Với quan điểm này, thử xem xét bất kỳ một tiên đề nào của hình học, ví dụ như cái sau: từ hai điểm trong không gian, ta luôn luôn có thể kẻ một đường thẳng, nhưng chỉ có thể kẻ được một mà thôi. Phải diễn giải tiên đề này như thế nào, theo nghĩa xưa cũ và theo nghĩa hiện đại?

Diễn giải cổ xưa – Mọi người đều biết một đường thẳng là gì, và một điểm là gì. Cho dù cái biết này đến từ năng lực của tinh thần con người hoặc từ kinh nghiệm, từ sự hợp tác của cả hai nguồn này hoặc từ đâu khác, nhà toán học không bắt buộc phải giải quyết; ông để quyết định này lại cho triết gia. Dựa trên cái biết này, có trước mọi thứ toán học, tiên đề nói ở trên (giống như mọi tiên đề khác) là hiển nhiên, có nghĩa rằng nó là sự biểu đạt của một phần của cái biết “tiên nghiệm” này.

Diễn giải hiện đại – Hình học xử lý những đối tượng được chỉ định bằng các từ điểm, đường thẳng, v.v.. Không một hiểu biết hoặc trực quan nào bất kỳ được giả định về chúng; điều duy nhất mà ta giả định là tính hiệu lực của các tiên đề (cái nói ở trên là một ví dụ), và các tiên đề này cũng phải được xem là thuần túy hình thức, nghĩa là hoàn toàn rỗng, không có bất kỳ một nội dung nào liên quan tới trực quan hoặc kinh nghiệm.

Các tiên đề này đều là những sáng tạo tự do của tinh thần con người. Tất cả mọi mệnh đề hình học khác đều là những suy diễn lô-gic từ các tiên đề (và những tiên đề này phải được hiểu từ quan điểm của chủ nghĩa duy danh mà thôi). Những đối tượng mà hình học xử lý đều đã được định nghĩa trước bởi chính các tiên đề. Và đấy là lý do khiến Moritz Schlick*, trong Lý Thuyết Nhận ​​Thức (Theory of Knowledge), xem các tiên đề là những “định nghĩa ngầm”.

Như được biện giải trong tiên đề học hiện đại, quan niệm về tiên đề này loại bỏ khỏi toán học mọi yếu tố không thuộc về nó, và qua đó xua tan sự tối nghĩa huyền bí từng bao trùm nền tảng của toán học trước đây. Cũng thế, một sự trình bày đã được thanh lọc như vậy về toán học cho ta thấy một cách hiển nhiên không kém rằng toán học, trong danh nghĩa toán học, không có khả năng phát biểu bất cứ điều gì, hoặc về các đối tượng nhận thức, hoặc về các đối tượng hiện thực. Trong hình học tiên đề (axiomatic geometry), các thuật từ điểm, đường thẳng, v.v., phải được hiểu như những sơ đồ khái niệm (conceptual schemata) còn rỗng về nội dung. Cái mang lại cho chúng một chất thể (substance) không thuộc về toán học.

Nhưng mặt khác, chắc chắn rằng cả toán học nói chung lẫn hình học nói riêng đều mắc một món nợ – và món nợ ấy là sự tồn tại của chúng – đối với nhu cầu hiểu biết một điều gì đó của chúng ta về hành vi của các vật thể hiện thực. Chỉ thuật từ “hình học”, có nghĩa là “đo đạc đất” thôi, đã đủ chứng minh điều này rồi. Bởi vì việc đo đạc đất đai liên quan tới các vị trí tương đối mà một số vật thể nhất định trong tự nhiên – nghĩa là các bộ phận của vật thể Trái đất, như dây chăng, cột mốc, v.v. – có thể giữ, cái này đối với cái kia. Rõ ràng là hệ thống các khái niệm của chỉ riêng môn hình học tiên đề thôi không thể đưa ra một phát biểu nào về hành vi của loại vật thể trong hiện thực mà chúng ta gọi là “các vật thể coi như rắn (practically rigid bodies³)”. Để có thể đưa ra những phát biểu thuộc loại này, hình học phải lột bỏ tính chất lô-gic và hình thức của nó, sao cho chúng ta có khả năng phối hợp các sơ đồ khái niệm còn rỗng nội dung của hình học tiên đề với những đối tượng của hiện thực có thể tiếp cận được qua kinh nghiệm. Để làm điều này, chỉ cần thêm đề xuất sau vào là đủ: Về các vị trí có thể có của chúng, những vật thể rắn được bố trí như các vật thể ba chiều trong hình học của Eukleidês; các mệnh đề của thứ hình học này lúc đó bao gồm cả những phát biểu về tương quan của các vật thể coi như rắn.

Thứ hình học được bổ túc như vậy hiển nhiên là một khoa học xuất phát từ kinh nghiệm; thậm chí ta có thể coi nó là ngành vật lý học lâu đời nhất. Về cơ bản, những phát biểu của nó dựa trên phép quy nạp từ kinh nghiệm; chứ không chỉ trên phép diễn dịch lô-gic. Chúng ta sẽ gọi thứ hình học được bổ túc này là “hình học thực tiễn (practical geometry)”, và trong phần tiếp theo sau đây, luôn luôn phân biệt nó với “hình học tiên đề thuần túy (purely axiomatic geometry)”. Câu hỏi liệu hình học thực tiễn của thế giới (vũ trụ) có phải là thứ hình học của Eukleidês hay không có ý nghĩa chính xác, và chỉ kinh nghiệm mới có thể đưa ra câu trả lời. Theo nghĩa này, bất kỳ một sự đo đạc chiều dài nào trong vật lý học đều thuộc về hình học thực tiễn, kể cả việc đo đạc chiều dài trong trắc địa và thiên văn học nữa cũng vậy, nếu ta thêm vào đấy cái đề xuất thực nghiệm rằng ánh sáng truyền theo đường thẳng, và theo đường thẳng trong nghĩa của hình học thực tiễn.

Tôi càng dành cho quan niệm về hình học được đặc trưng hóa như vậy tất cả sự quan trọng cần thiết, bởi nếu không có nó thì tôi đã không thể nào xây dựng được lý thuyết tương đối của mình. (…)

Chú thích:

(1) Axiom, do từ Hy Lạp ἀξίωμα = axiôma, được dùng trong toán học cổ điển để chỉ “một nguyên lý hiển nhiên tự thân” (“cái bộ phận thì nhỏ hơn cái toàn phần” chẳng hạn), và phân biệt với postulate (định đề, cái được yêu cầu chấp nhận như cơ sở để lý luận, như định đề thứ 5 trong hình học của Eukleidês chẳng hạn). Trong toán học ngày nay, do dấu nhấn được chuyển, từ ý tưởng hiển nhiên giả định của cái gọi là nguyên lý, sang tính chặt chẽ của toàn bộ hệ thống lý luận hình thức, axiom chỉ còn được hiểu là một mệnh đề được chấp nhận tiên thiên như cơ sở lý luận để từ đấy có thể suy diễn ra những mệnh đề khác trong hệ thống. Từ thích hợp nhất để dịch axiom trong trường hợp này, do đó, là tiên đề.

(2) Axiomatics = Axiomatique, do từ Hy Lạp ἀξιωματικός (axiômatikos) và ἀξίωμα (axiôma, xem chú thích ở trên. Ngày nay, axiomatics chỉ lĩnh vực nghiên cứu về các tiên đề (axioms), các hệ thống tiên đề (axiomatic systems) và phương pháp tiên đề (axiomatic method); đấy là những thuật từ thường được thấy hơn là tiên đề học. Xem thêm về mục từ này trên Phụ Lục liên quan khi có thể tham khảo.

(3) Một vật thể coi (hầu) như rắn là một vật thể rắn đối với ý định và mục đích của bối cảnh đang nói. Sự khác biệt là nó không loại trừ khả năng là, ở một mức độ nào đó, vật coi như rắn không thực sự rắn, nhưng mức độ này nằm ngoài phạm vi lập luận của bối cảnh đang bàn bạc.

Nguồn dịch: Hình học tiên đề, hình học thực tiễn (A. Einstein, 1921), Viện Giáo Dục IRED, 13-05-2019.